Het rapport Over de drempels met rekenen, een deelrapport van het op 23 januari, 2008, gepubliceerde hoofdrapport Over de drempels met taal en rekenen van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (de Commissie Meijerink), verschaft norm niveaubeschrijvingen voor twee leerlijnen: het "fundamentele niveau" in de leerlijn 1F/2F/3F en een "streefniveau" in de leerlijn 1S/2S/3S. In dit web-artikel richt ik me op het fundamentele niveau. Ik vergelijk het fundamentele niveau inhoudelijk met het streefniveau en ook met een paar internationale benchmarks. Mijn conclusie is dat het fundamentele niveau een volstrekt falend niveau is. De 1F/2F/3F leerlijn blijft ver achter bij wat elders al op de basisschool tot de norm behoort, en verschaft geen uitzicht op beroepen of beroepsopleidingen waarin basiskennis rekenen en wiskunde van belang zijn.
De scheiding tussen niveaus 1F en 1S in het ongedifferentieerde nederlandse basisonderwijs is natuurlijk problematisch; de commissie was zich dat zeker bewust en de positie van het "fundamentele niveau" binnen het bestel wordt in hoofdstuk 3 van het hoofdrapport verduidelijkt. "De fundamentele kwaliteit hoort door alle leerlingen gerealiseerd te worden. De streefkwaliteit is een uitdagend perspectief voor leerlingen die op dat moment meer aankunnen." Later: "De fundamentele kwaliteit die we aanduiden als 2F beschouwen we als een noodzakelijke kwaliteit voor het in algemeen opzicht goed maatschappelijk functioneren op het terrein van taal en rekenen." (Niveau 2F hoort bij de leeftijdsgroep 16-jarigen.) In hoofdstuk 4 speciaal over de scheiding 1F/1S: "Voor een deel van de basisschoolleerlingen kan de lat wat hoger liggen. We vinden dat wenselijk vanuit het perspectief van het bieden van uitdaging aan deze leerlingen. We hebben daarom een streefkwaliteit ingevoerd die deels het volgende referentieniveau overlapt." In het rapport wordt de 1F/2F/3F leerlijn dus bepaald niet gezien als een fall-back voor leerlingen die het normale niveau echt niet aankunnen; integendeel, de toonzetting hier geeft eerder aan dat de 1F/2F/3F lijn de norm-leerlijn is, met daarnaast de 1S/2S/3S lijn voor een minderheid van de leerlingen. Een basisschool met een populatie die niet speciaal mikt op het vwo kan met dit rapport in de hand zonder schaamte de 1F leerlijn tot haar norm nemen.
In een eerder web-artikel, Doorlopende Leerlijnen Rekenen, een vergelijking met Californië contrasteerde ik de niveaubeschrijvingen rekenen met een amerikaans document, het Mathematics Framework for California Public Schools. Hier wijs ik graag ook naar wat ander vergelijkingsmateriaal waarmee ik goed vertrouwd ben en dat de geïnteresseerde lezer zich ook zelf verwerven kan. Daar zijn in de eerste plaats te noemen de leerboekjes Singapore Primary Mathematics, een leergang die in Amerika vooral bij homeschoolers populair is; mijn link is naar de U.S. Edition, hoewel de boekjes mischien ook direct in Singapore te bestellen zijn. Ik bezit deze reeks, en ook een aantal Singapore leerboeken voor de hogere klassen. (Voor de duidelijkheid, Grades 1-6 in Amerika en in de gangbare internationale aanduiding komt qua leeftijd overeen met groepen 3-8 in Nederland. In dit web-artikel gebruik ik het woord Grade onvertaald in de amerikaanse betekenis.) Verder heeft zo'n 20 jaar geleden het University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP) vertalingen verzorgd van een aantal russische en japanse boekjes en deze zijn nog te bestellen; ik bezit de deeltjes voor Russian Mathematics Grades 1-3 en Japanese Mathematics Grades 7-11. (De deeltjes voor de hogere klassen zijn te bestellen via de American Mathematical Society Bookstore; doe daar een Quick Search op trefwoorden kodaira japanese grade.) Tenslotte heb ik via abebooks.com en booklooker.de een set 70-er jaren DDR-leerboekjes Mathematik Klasse 3-10 van Volk und Wissen Verlag bijeengesprokkeld en als niet alle lezers het tegelijk proberen dan is dat ook nog na te voltrekken. Ik reproduceer een klein deel van het boekje voor de 6e klas (leeftijd Nederland groep 8) hier op een web-pagina; het gaat om de vier sets samenvattende oefenopgaven (steeds aan het eind van een hoofdstuk) van Mathematik Klasse 6 uit het jaar 1978. (Het is in pdf-formaat, en de lezer zal de pagina zelf kunnen roteren met de geeigende button op de viewer). Al deze leerboekjes bieden goed vergelijkingsmateriaal voor een beoordeling van het niveau van de leerlijnen van de Commissie Meijerink. (De leerboekjes bevestigen ook wat ik meen te weten, dat in de onderwijskundig sterke landen in Azië en Oost-Europa het de traditie is dat leerlingen, en niet alleen de beste, rond Grade 7 serieus met algebra beginnen, waarvoor in Grades 1-6 een goede basis wordt gelegd.) Uiteindelijk bevalt het me echter het beste de nederlandse voorgestelde leerlijnen te leggen naast een direct vergelijkbaar document en om die reden beveel ik de californische maatstaven toch als eerste aan. Dat het Mathematics Framework for California Public Schools ook direct via het web toegankelijk is is een aanzienlijk bijkomend voordeel.
Wat de nederlandse voorgestelde leerlijnen betreft richt ik me op de hoofdstukken 7 t/m 10 van het rapport *Over de Drempels met Rekenen*, waarin de referentieniveaus zijn beschreven voor successievelijk vier domeinen: Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde, en Verbanden. Ik concentreer me op beschrijving van het fundamentele niveau: niveau 1F voor 12-jarigen, niveau 2F voor 16-jarigen, en niveau 3F voor 17-20-jarigen, leerlingen aan het eind van een mbo opleiding met weinig wiskunde. Ik zal uitspraken doen van de aard van, kennis of vaardigheid Q wordt niet gevraagd van leerlingen op 1F niveau. Het rapport is uiteraard in positieve zin geformuleerd, dus laat me het redeneerschema expliciet maken dat aan zo een negatieve formulering meestal ten grondslag ligt. Wanneer de norm P inhoudelijk zwakker is dan de norm Q, wanneer dan in de beschrijving van niveau 1F norm P genoemd wordt maar norm Q niet, daarentegen Q wel te vinden is bij het hogere niveau 2F of 1S, dan stel ik dat Q bij niveau 1F niet gevraagd wordt. Dit redeneerschema dekt niet alles, en het meest belangrijke tekort is dat het volstrekt onduidelijk is waar de beginnende algebra in de leerlijnen gedacht zou mogen worden. Het rapport bewaart daarover een mysterieus zwijgen.
Het is essentieel voor een goed begrip van het onderwijsvijandige karakter van de hier gepresenteerde 1F/2F/3F leerlijn in te zien dat de 1F leerling de tafels van vermenigvuldiging niet werkelijk hoeft te beheersen. Ja, onder 1F rubriek C is te lezen dat de leerling de producten tot en met 10*10 uit het hoofd moet kennen, maar een voetnoot zegt dat geen verschil wordt gemaakt tussen memoriseren en vlot kunnen berekenen; daarnaast hoeft de 1F leerling de delingen uit de tafels (voorbeeld 45:5) niet instantaan te kunnen, maar slechts te kunnen uitrekenen. (De 1S leerling moet de delingen uit de tafels wel uit het hoofd kennen.) Ook in het 2F en 3F niveau zal dit tekort niet worden weggenomen. In al mijn vergelijkingsmateriaal behoort de beheersing van de tafels van vermenigvuldiging voor alle leerlingen tot de doelstellingen voor Grades 2 en 3, daarna moeten de tafels alleen nog op peil gehouden worden. In de 1F/2F/3F leerlijn krijgt het "schattend rekenen" de nadruk, maar de lezer mag zich afvragen hoe een leerling schattend om kan gaan met een opgave als 312:7 (in context, laten we zeggen) als deze leerling niet als automatisme paraat heeft 7*4=28 en 7*5=35 (en het werken met machten van 10 in zo'n situatie zal voor de leerling ook een automatisme moeten zijn).
De 1F leerling moet een aantal rekenkundige bewerkingen met natuurlijke getallen kunnen uitvoeren: optellen en aftrekken (voorbeeld, 1268-385), vermenigvuldigen van een getal van een cijfer met een getal van twee of drie cijfers en van een getal van twee cijfers met een getal van twee cijfers, delen van een getal met maximaal drie cijfers door een getal met maximaal twee cijfers (?? zie noot [0]). Het lijkt echter dat de 1F leerling voor deze operaties niet de efficiënte standaardprocedures zal hoeven kennen, daar wordt pas bij de 1S niveaubeschrijving naar verwezen (en ook daar niet ondubbelzinnig). Ik denk dat we ons bij dit rekenen de klungelige procedures moeten voorstellen die ook in Amerika kritische ouders en waarnemers tot wanhoop drijven; zie mijn The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics voor een tamelijk neutrale beschrijving daarvan.
De 1F leerling moet gebruik kunnen maken van niet-negatieve gehele getallen, eenvoudige decimale getallen, en eenvoudige breuken. Hij moet deze kunnen plaatsen op de getallenlijn en eenvoudige berekeningen kunnen uitvoeren. De leerling moet in de eenvoudigste gevallen kunnen vertalen van een breuk naar een decimaal getal en omgekeerd (voorbeeld, 1/2=0,5, 0,01=1/100). De 1F leerling hoeft niet te werken met gemengde getallen en hoeft niet systematisch te kunnen vertalen tussen breuken en decimale getallen (ik denk hierbij enkel aan terminerende decimale getallen; de aard van de voorbeelden geeft aan dat ook een omzetting als 7/4=1,75 niet van de 1F leerling gevraagd mag worden). Ook het correct plaatsen van de komma zit niet in het pakket voor de 1F leerling; we vinden rekenvoorbeelden als 18:100 en 1,8*1000 slechts in de 1S lijn. De 1F leerling zal niet systematisch kunnen rekenen met decimale getallen of met breuken. Wat dit rapport betreft mag men tevreden zijn als de betreffende leerling met breuken kan omgaan in een context waarin het Pizza-model een goed visueel handvast biedt, en met decimale getallen in een vertrouwde context als Euros en centen. Dat met getallen ook abstract kan worden omgegaan is de 1F leerling niet toevertrouwd.
In de aanbevelingen van de commissie is verder duidelijk dat de electronische rekenmachine al in het basisonderwijs volop aanwezig zal zijn. Men kan niet anders verwachten dan dat in de 1F/2F/3F leerlijn de rekenmachine voortdurend als vluchtmiddel gebruikt zal worden. Het zo beklaagde gebrek aan rekenvaardigheid van de huidige scholieren wordt door de aanbevelingen van dit rapport in ieder geval voor de 1F/2F/3F lijn tot norm verheven.
We kijken nu naar niveaus 2F (referentieleeftijd 16 jaar) en 3F (17-20 jaar), nog steeds domein Getallen. Negatieve gehele getallen worden geïntroduceerd in niveau 2F en de leerling moet ze kunnen schrijven, plaatsen op de getallenlijn, en weten te gebruiken in de context van bijvoorbeeld temperatuur, hoogte, of jaartelling [1]. Formeel er mee rekenen hoeft nauwelijks op niveau 2F; als voorbeeld wordt gegeven 3-5 = 3+-5 = -5+3. De eenvoudigste bewerkingen met negatieve breuken en decimalen vinden we pas in 3F. Ook het werken met gemengde berekeningen en het gebruik van haakjes komt op niveau 2F nog niet aan de orde, het wordt pas genoemd bij 3F en 2S. Het thema van grote en kleine getallen geschreven met behulp van machten van 10 komt in 2F niet de orde, in 3F wordt genoemd het schrijven van grote getallen met machten van 10, maar niet het rekenen ermee, dat vinden we alleen bij 2S. En pas in de niveaubeschrijving voor niveau 3F vinden we het berekeningen uitvoeren waarbij gebruik gemaakt moet worden van verschillende rekenregels. Ik kan het niet laten: Volk und Wissen, Mathematik Klasse 6 (1989), p. 100, opgave 13. Bei der Rekonstruktion eines Stadions werden auch die Sprunggruben mit neuem Sand gefüllt. Dafür werden 6,5 m3 Sand benötigt. (Dichte 1,6 kg/dm3) Wie oft muss ein LKW mit einer Ladefähigkeit von 3 t fahren, um den benötigten Sand in das Stadion zu transportieren? (Toegegeven, een van de meer bewerkelijke opgaven daar.)
Zoals ook bij het domein Getallen moet de leerling in de 1F/2F/3F lijn hier wel enige notatie kennen, maar hoeft nauwelijks te rekenen. Bijvoorbeeld, op niveau 1F, de leerling moet de samenhang kennen tussen standaard maten, bijvoorbeeld tussen km en m of tussen m en dm, cm, mm; maar een rekenvoorbeeld als "is 1750 gram meer of minder dan 1,7 kg" hoort thuis op het 1S streefniveau; ook samengestelde grootheden (km/u) vinden we niet bij 1F, wel bij 1S. De 1F leerling moet oppervlakte en omtrek kunnen berekenen van een rechthoek maar niet van meer ingewikkelde figuren. Bij niveau 2F wordt het thema Meten en Meetkunde meer nadrukkelijk praktijkgericht, zoals het lezen van werktekeningen. Traditionele meetkunde ontbreekt volledig in de 1F/2F/3F lijn en komt eigenlijk ook bij de 1S/2S/3S lijn niet aan de orde. Zo zullen de eindopgaven na het lange hoofdstuk Planimetrie bij Volk und Wissen Mathematik Klasse 6 de nederlandse 1F/2F/3F leerling volledig boven de pet gaan; overigens, ik denk niet dat de 2F of zelfs de 3F leerling van deze leerlijnen veel kans heeft bij de overige opgaven daar in de 6e klas DDR. Hier zijn de eindopgaven bij de vier hoofstukken: a, Teilbahrkeit natürlicher Zahlen; b, Gebrochene Zahlen; c, Einführung in die Gleichungslehre, Proportionalität; d, Planimetrie.
In mijn eerdere bijdrage Doorlopende Leerlijnen Rekenen, een vergelijking met Californië gaf ik terloops mijn mening dat de commissie zich op glad ijs heeft begeven en prompt is uitgegleden door al bij het po te differentiëren naar een funderingsniveau 1F en een streefniveau 1S. De huidige bijdrage onderbouwt die kritiek. Daarbij waardeer ik eigenlijk wel dat erkend wordt dat ook bij de basisschoolleerlingen de capaciteiten al ver uiteenliggen. Het is aangenaam nu eens niet als dogma te lezen dat "We make sure that ALL students will learn to high standards" waar dat dan alleen bereikt wordt door de standards ver omlaag te schroeven. Wat mij betreft is het de opdracht aan de school naar vermogen ervoor te zorgen dat elke leerling zich binnen zijn of haar schoolse kunnen maximaal ontwikkelt.
Echter, in het onderhavige reken-rapport wordt enerzijds de 1F lijn gepresenteerd als een heel respectabele lijn, naar alle aanzien de standaardlijn in het po; anderzijds is deze 1F lijn inhoudelijk vér beneden de maat, en verkeerd van inhoud ook als we de lijn bestemd zouden denken voor alleen de zwakste 5-10 procent van de leerlingen. De 1F leerling zal niet leren rekenen, niet echt rekenen en ook niet, wat voor suggestie het rapport ook mag wekken, schattend of benaderend rekenen. Het rekenen zoals in de 1F lijn onderwezen is in de praktijk voor de leerling een gokspel met het rekenautomaat. Alle abstractie wordt de 1F leerling onthouden, deze leerling leert breuken en decimale getallen alleen in context en leert niet te vertalen van een opgave in context naar pure rekenkunde zodra het breuken en decimalen betreft. In de 2F/3F lijn zet dezelfde tendens zich door, ook daar is men wars van abstractie. De 1F/2F leerling mist daarmee volledig de basis die nodig is voor het leren van algebra. Het is te hopen dat de opdrachtgevers van de Commissie Doorlopende Leerlijnen in ieder geval deze 1F/2F/3F leerlijn ondubbelzinnig en volledig zullen afwijzen, voor alle leerlingen en alle takken van onderwijs.
[0] Ik denk eigenlijk dat dit op een drukfout in het rapport berust, en dat het de bedoeling is dat de 1F leerling een getal van drie cijfers kan delen door een getal van één cijfer, terwijl de 1S leerling ook moet kunnen delen door een getal van twee cijfers. Het lijkt erop dat de betreffende beschrijvingen in de linker en rechter kolom verwisseld zijn. Voor het delen door een getal van één cijfer zijn inderdaad de al geciteerde klungelige methodes nog bruikbaar.
[1] Negatieve getallen in de gangbare jaartelling zijn een aparte zaak, natuurlijk, omdat de 0 ontbreekt. Maar hier gaat het alleen om het taalgebruik, rekenen hoeft niet.
Bas Braams
Department of Chemistry and
Cherry L. Emerson Center for Scientific Computation
Emory University
(Dank aan: contacten via New York City HOLD -- www.nychold.com)