De volgende email is mijn onmiddelijke reactie op het rapport Over de drempels met taal en rekenen van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, ook genoemd de Commissie Meijerink. Voor nadere kennismaking verwijs ik de lezer naar New York City HOLD en naar Education Page of Bas Braams. De oorspronkelijke email, van 24/25 januari, 2008, is hier in html-vorm weergegeven.
[Toevoeging: Zie graag ook mijn latere bijdrage Doorlopende Leerlijnen Rekenen, het Falend Niveau 1F/2F/3F]
Geachte Lezer,
Het volgende is een niet te zeer gepolijst deelcommentaar op het op 23 januari j.l. uitgebrachte rapport Over de drempels met taal en rekenen [0] van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Na een korte inleiding beperk ik me tot het deelrapport Rekenen [1], en vooral contrasteer ik dan de daar beschreven referentieniveaus met een bekend verwant amerikaans document, het Mathematics Framework for California Public Schools [2]. In 2004/2005 was ik betrokken bij een evaluatie, gesteund door de Fordham Foundation, van maatstaven voor wiskunde onderwijs in alle 50 amerikaanse staten (The State of State Math Standards 2005 [3]). De standaarden in Californië, ook voor andere vakken [4], kregen in dat rapport de hoogste waardering en ik beschouw ze als exemplarisch voor wat van een omschrijving van doorlopende leerlijnen mag worden verwacht. De Expertgroep Rekenen zou er goed aan hebben gedaan deze standaarden althans voor het primair onderwijs ongewijzigd over te nemen.
De algemene indruk die het hoofdrapport bij mij opwekt is die van een volstrekt gebrek aan ambitie. Het rapport lijkt te passen in een onderwijskundig negativisme waarin van de docenten zo min mogelijk gevraagd wordt, waarin het leren vooral een spontaan gebeuren moet zijn, en waarin de school niet als taak hoeft te zien om leerlingen tot het beste van hun kunnen te verheffen. Ik zal deze indruk verderop onderbouwen door bespreking in enig detail van de referentieniveaus Rekenen, maar sta eerst nog even stil bij de algemene indruk.
Het gebrek aan ambitie in het Leerlijnen rapport moet niet gedreven zijn door een negatieve onderwijskundige filosofie of door eenvoudig defaitisme, het zou ook gezien kunnen worden als een niet onrechtmatige realistische kijk op de mogelijkheden. Zo is in het hoofdrapport te lezen "... wij hebben willen voorkomen dat het onderwijs wordt opgezadeld met het idee een krachtsinspanning te moeten leveren die niet te onderbouwen is en al snel als niet haalbaar zal worden weggezet." (Sec. 1.4); dit mag klinken als puur realisme, maar in samenhang met het heel lage niveau van de voorgestelde referentieniveaus getuigt het voor mij op zijn best van defaitisme.
Ambities kunnen heel veel hoger liggen, en voor een uitmuntend voorbeeld daarvan verwijs ik naar het werk van de amerikaanse Core Knowledge Foundation en van een serie boeken waarin hun onderwijskundige filosofie zeer gedetailleerd inhoudelijk is omschreven: titels What Your Kindergartner Needs to Know tot en met What Your Sixth Grader Needs to Know [5] en in samenhang daarmee The Knowledge Deficit [6] van de hand van de grondlegger van Core Knowledge, E. D. Hirsch. De Core Knowledge Foundation ondersteunt en accrediteert scholen die zich voor het onderwijs inhoudelijk laten leiden door de Core Knowledge Sequence zoals weergegeven in de genoemde reeks [5]. Deze scholen vertegenwoordigen een ambitie die inmens hoger ligt dan het in Nederland (of ook in Amerika) gangbare, en daarbij richten ze zich niet speciaal op kinderen van beter opgeleiden, integendeel, tot de grondslag van deze scholen behoort de opvatting dat inhoudelijk hoogstaand onderwijs ertoe bijdraagt tegenstellingen weg te werken of sterk terug te brengen.
Ik beperk me verder tot het deelrapport Rekenen [1] en wat dat betreft is dan allereerst een gigantisch falen op te merken dat veel meer aandacht in de bespreking eist dan ik op dit moment verschaffen kan; dit gigantische falen is de volledige afwezigheid van een bespreking van de rol van algebra in de vroege jaren in het secundair onderwijs. Wat de commissie bezield kan hebben (of was het de opdrachtgever) om aan de algebra in dit rapport geen aandacht te besteden, en ook de afwezigheid van aandacht niet nader te verklaren, is mij een zodanig raadsel dat ik op dit moment van verder commentaar eigenlijk liever afzie. Er is een aanduiding in het rapport dat algebra pas zou toebehoren aan het niveau 3S, het eindstadium van de betere havo leerling of de vwo leerling, maar dit is te absurd voor woorden en ik wacht er liever op dat een lezer me duidelijk maakt hoe de basiskennis algebra toch wel degelijk, via impliciete incorporatie van de een of andere externe text, in het algemene 2F/2S niveau is opgenomen.
Zoals in de inleiding geschreven wil ik het onderwijsniveau beschreven in het deelrapport Rekenen [1] vergelijken met dat welk beschreven wordt in de californische maatstaven [2]. Het californische rapport is organisatorisch superieur; de maatstaven zijn daar gepresenteerd als een werkelijke leerlijn van jaar tot jaar voor Kindergarten t/m Grade 7 (niet naar niveau gedifferentieerd) en dan verder thematisch naar een in Amerika gangbare indeling: Algebra I, Geometry, Algebra II, Trigonometry, Mathematical Analysis, en Probability and Statistics. Maar omdat het nederlandse rapport zich beperkt tot het domein Rekenen is van het californische werk eigenlijk alleen de leerlijn K-7 voor de bespreking relevant. (Wat klasse-aanduiding betreft, Grades 1-6 in Amerika komt qua typische leeftijd overeen met groepen 3-8 in Nederland; Grade 7 en daarboven komt qua leeftijd overeen met secundair en middelbaar beroepsonderwijs in Nederland. Om verwarring te voorkomen zal ik het woord Grade onvertaald gebruiken in de amerikaanse betekenis.)
Ik ga nu over naar de hoofstukken 7 t/m 10 van het rapport *Over de Drempels met Rekenen*, waarin de referentieniveaus zijn beschreven voor successievelijk vier domeinen: Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde, en Verbanden. Ik kijk daarbij naar de niveaus 1F/1S, 2F/2S, en 3F; de specificatie van niveau 3S in het rapport is evident onvolledig en ik laat die daarom onbesproken. Niveau 1F/1S heeft betrekking op 12-jarigen, dus het eind van het primair onderwijs; groep 8 Nederland of Grade 6 Amerika. (De inrichting van het nederlandse basisonderwijs, zoals ook het amerikaanse, is naar niveau ongedifferentieerd en ik meen dat de commissie zich op glad ijs heeft begeven en prompt is uitgegleden door hier al te differentiëren naar een funderingsniveau 1F en een streefniveau 1S.) Niveau 2F/2S is te associëren met 16-jarigen in de trajecten vmbo en mavo, en niveau 3F/3S met 17-20-jarigen in de havo of mbo. Omdat de leerlijnen niet van jaar tot jaar zijn aangegeven mogen we verwachten dat een deel van het beschreven niveau al in een lagere klas tot de norm zal behoren, maar een gids daarvoor is in deze leerlijnen niet gegeven.
Ik betoog dat de onderhavige nederlandse leerlijnen voor het eind van het basisonderwijs op niveau 1F meer dan twee jaar en op niveau 1S al nagenoeg een jaar achterliggen bij de (volstrekt realistische) californische standards, en dat de nederlandse achterstand bij leeftijd 16 jaar nog fors is toegenomen. Ik ondersteun deze bewering door nederlandse niveaubeschrijvingen in de 1S lijn (de hogere leerlijn voor het basisonderwijs) terug te vinden in californische standaarden voor lagere klassen, en hetzelfde voor nederlandse niveaubeschrijvingen voor het secundair onderwijs; er is heel weinig in de niveaubeschrijving voor nederlandse 16-jarigen dat we in Californië niet al in Grades 4-7 beschreven vinden.
De californische standaarden voor Grades 3-7 kennen een onderverdeling in de gebieden (Strands) Number Sense; Algebra and Functions; Measurement and Geometry; Statistics, Data Analysis, and Probability; en Mathematical Reasoning. Een kerndoel van het programma in Grades 1-7 is de leerlingen de mogelijkheid te verschaffen in Grade 8 serieus met de studie van algebra aan te vangen.
---
De operationalisering voor het domein Getallen.
Nederland, domein Getallen, leeftijd 12 jaar. Het streefniveau 1S, voor de betere leerlingen, omvat: Breuken herkennen ook in schrijfwijze met schuine streep, zoals 3/4 (in niveau 1F alleen horizontale streep); functioneel gebruik van gemengde getallen en vertrouwdheid met de relatie tussen breuken en decimalen (in niveau 1F ontbreken de gemengde getallen en is de relatie tussen breuken en decimalen slechts minimaal aanwezig). De getallenlijn met decimale getallen en breuken (in niveau 1F, geen breuken en alleen eenvoudige decimale getallen op de getallenlijn). Decimaal getal afronden op geheel getal (in niveau 1F, van geheel getal op rond getal). Standaard rekenprocedures gebruiken ook met getallen boven de 1000 met complexere decimale getallen in complexere situaties (niveau 1F, eenvoudige decimale getallen, eenvoudige situaties). Delingen uit de tafels uit het hoofd kennen (voorbeeld 45:5; in niveau 1F, dit kunnen uitrekenen). Volgorde van bewerkingen kennen (in niveau 1F niet?). Vergelijken van breuken, ook via standaardprocedures en met moeilijker breuken (niveau 1F, alleen eenvoudige breuken, als voorbeeld wordt gegeven 1/4 liter is minder dan 1/2 liter). Optellen en aftrekken ook via standaardprocedures, met moeilijker breuken en gemengde getallen zoals 6,3/4 (op niveau 1F, alleen veel voorkomende breuken binnen een betekenisvolle situatie, als voorbeeld 1/8+1/8 of 1/2+3/4). Geheel getal vermenigvuldigen met een breuk of omgekeerd (niveau 1F, alleen "een deel van", zoals 1/3 deel van 150 euro). Vereenvoudigen en compliceren van breuken, breuken als geheel getal schrijven, een geheel getal delen door een breuk of gemengd getal, een breuk of gemengd getal delen door een breuk, vooral binnen een bekende situatie (niveau 1F, er lijkt een drukfout te zijn, er wordt alleen gevraagd binnen een bekende situatie een breuk te vermenigvuldigen met een ... ?). Rekenen met standaardprocedures en met inzicht in situaties waarin gehele getallen, breuken en decimale getallen voorkomen. (Niveau 1F, benaderend en schattend rekenen als de context zich daartoe leent of als controle voor rekenen met de rekenmachine. Kennis over bewerkingen, bijvoorbeeld 3+5=5+3 maar 3-5 verschilt van 5-3 (mist bij niveau 1F naar ik aanneem omdat de kennis van negatieve getallen daar te gebrekkig is).
California. Grade 3, Number Sense, Standard 3. Students understand the relationship between whole numbers, simple fractions, and decimals: 3.1. Compare fractions represented by drawings or concrete materials to show equivalency and to add and subtract simple fractions in context (e.g., 1/2 of a pizza is the same amount as 2/4 of another pizza that is the same size; show that 3/8 is larger than 1/4). 3.2. Add and subtract simple fractions (e.g, determine that 1/8+3/8 is the same as 1/2). 3.3. Solve problems involving addition, subtraction, multiplication, and division of money amounts in decimal notation by using whole number multipliers and divisors. 3.4. Know and understand that fractions and decimals are two different representations of the same concept (e.g, 50 cents is 1/2 of a dollar, 75 cents is 3/4 of a dollar). Grade 4, Number Sense, Standard 1. Students understand the place value of whole numbers and decimals to two decimal places and how whole numbers relate to simple fractions. Students use the concept of negative numbers (nader uitgewerkt in onderdelen 1.1-1.9, met voorbeelden). Number Sense, Standard 2. Students extend their understanding of whole numbers to the addition and subtraction of simple decimals. Number Sense, Standard 3: Students solve problems involving addition, subtraction, multiplication, and division of whole numbers and understand the relationships among the operations [...]. Number Sense, Standard 4: Students know how to factor small whole numbers [...].
Samenvattend tot dusver: Het fundamentele niveau 1F voor 12-jarigen voor het domein getallen wordt op essentiele punten overtroffen door de Californische standards voor twee jaar eerder, Grade 4. We zullen aanstonds zien waar het 1S niveau bereikt wordt, maar eerst keren we terug naar de nederlandse leerlijn, nog steeds domein Getallen.
Domein Getallen, leeftijd 16 jaar, niveau 2F, en 17-20 jaar, niveau 3F. Schrijwijze negatieve getallen als -3 deg, -150 m (niveau 2F), ook negatieve breuken en decimale getallen (3F). Getalnotaties met miljoen, miljard (2F), ook schrijfwijze met machten van 10 (3F). Werken met haakjes om volgorde van berekening te veranderen (3F). Negatieve getallen plaatsen in getalsysteem (2F), ordenen en plaatsen op de getallenlijn (3F). (Niet-negatieve?) getallen vergelijken, bijvoorbeeld met getallenlijn (2F), complexere situaties vertalen naar een bewerking (3F). Negatieve getallen in berekeningen gebruiken, zoals 3-5 = 3+(-5) = -5+3, haakjes gebruiken, en met een rekenmachine breuken, procenten, machten en wortels berekenen of benaderen als eindige decimale getallen (2F), berekeningen uitvoeren waarbij gebruik moet worden gemaakt van verschillende rekenregels (3F). Uitkomst van een berekening gebruiken, afronden in overeenstemming met de gegeven situatie (2F), resultaat interpreteren (3F). Bij berekeningen een passend rekenmodel of de rekenmachine kiezen, berekeningen en redeneringen verifiëren (2F).
California, Grade 4, Number Sense, Standard 1.8. Use concepts of negative numbers (e.g., on a number line, in counting, in temperature, in "owing"). Example: true or false, -9 > -10? Grade 4, Algebra and Functions, Standard 1. Students use and interpret variables, mathematical symbols, and properties to write and simplify expressions and sentences: 1.1. Use letters, boxes, or other symbols to stand for any number in simple expressions or equations (e.g., demonstrate an understanding and the use of the concept of a variable). 1.2. Interpret and evaluate mathematical expressions that now use parentheses. 1.3. Use parentheses to indicate which operations to perform first when writing expressions containing more than two terms and different operations. 1.4. Use and interpret formulas (e.g., area = length*width or A = lw) to answer questions about quantities and their relationships. 1.5. Understand that an equation such as y = 3x+5 is a prescription for determining a second number when a first number is given. Grade 4, Algebra and Functions, Standard 2. Students know how to manipulate equations. 2.1. Know and understand that equals added to equal are equal. 2.2. Know and understand that equals multiplied by equal are equal. Grade 5, Number Sense, Standard 1. Students work with very large and very small numbers, positive integers, decimals, and fractions and understand the relationship between decimals, fractions, and percents. They understand the relative magnitude of numbers (nader uitgewerkt met voorbeelden). Grade 5, Number Sense, Standard 2. Students perform calculations and solve problems involving addition, subtraction and simple multiplication and division of fractions and decimals [...]. Grade 5, Algebra and Functions, Standard 1. Students use variables in simple expressions, compute the value of expressions for specific values of the variable, and plot and interpret the result [...]. Grade 6, Number Sense, Standard 1. Students compare and order positive and negative fractions, decimals, and mixed numbers. Students solve problems involving fractions, ratios, proportions, and percentages (verder uitgewerkt). Grade 6, Standard 2. Students calculate and solve problems involving addition, subtraction, multiplication, and division (verder uitgewerkt: breuken, negative getallen, haakjes, gemengde operaties, k.g.v. en g.g.d., breuken op gelijke noemer brengen). Grade 6, Algebra and Functions, Standard 1. Students write verbal expressions and sentences as algebraic expressions and equations; they evaluate algebraic expressions, solve simple linear equations, and graph and interpret their results [...]. Standard 2. Students analyze and use tables, graphs, and rules to solve problems involving rates and proportions [...]. Standard 3. Students investigate geometric patterns and describe them algebraically.
Het lijkt erop dat van de nederlandse leerling op 1F/2F/3F niveau in de loop van leeftijd 12 tot 16 jaar in het domein Getallen een vooruitgang wordt verwacht die ongeveer overeenkomt met California Grade 4 tot Grade 5, terwijl pas niveau 3F overeen lijkt te komen met California Grade 6. Het hogere niveau 1S op het domein Getallen schat ik in op dichter bij Grade 5 dan bij Grade 6 in de ongedifferentieerde californische standaard. We moeten nog kijken naar niveau 2S (van niveau 3S heb ik gezegd het niet te zullen bespreken).
Domein Getallen, leeftijd 16 jaar, niveau 2S. Verschillende schrijfwijzen van getallen met elkaar vergelijken, wetenschappelijke notatie rekenmachine gebruiken. Priemgetallen. Wortels als irrationele getallen, uitbreiding naar reële getallen. Verband tussen breuken met getallen en met variabelen; decimale getallen als tiendelige breuken. Rekenen met breuken, rekenen in de wetenschappelijke notatie. Eigenschappen van bewerkingen. Correctheid van rekenkundige redeneringen verifiëren.
California. Een belangrijk deel van deze 2S opsomming voor wat in Amerika Grades 7-10 zou heten hebben we in de California Standards al gezien bij Grade 6 of eerder en de rest volgt in Grade 7: Number Sense, Standard 1. Students know the properties of, and compute with, rational numbers expressed in a variety of forms: 1.1. Read, write, and compare rational numbers in scientific notation (positive and negative powers of 10) with approximate numbers using scientific notation. 1.2. Add, subtract, multiply, and divide rational numbers (integers, fractions, and terminating decimals) and take positive rational numbers to whole-number powers. 1.3. Convert fractions to percents and use these representations in estimations, computations, and applications. 1.4. Differentiate between rational and irrational numbers. 1.5. Know that every rational number is either a terminating or repeating decimal and be able to convert terminating decimals into reduced fractions. 1.6. Calculate the percentage of increase or decrease of a quantity. 1.7. Solve problems that involve discounts, markups, commissions, and profit, and compute simple and compound interest. Standard 2. Students use exponents, powers, and roots and use exponents in working with fractions: 2.1. Understand negative whole-number exponents. Multiply and divide expressions involving exponents with a common base. 2.2. Add and subtract fractions by using factoring to find common denominators. 2.3. Multiply, divide, and simplify rational numbers by using exponent rules. 2.4. Use the inverse relationship between raising to a power and extracting the root of a perfect square integer; for an integer that is not square, determine without a calculator the two integers between which its square root lies and explain why. 2.5. Understand the meaning of the absolute value of a number; interpret the absolute value as the distance of the number from zero on a number line; and determine the absolute value of real numbers. Grade 7, Algebra and Functions, Standard 1. Students interpret quantitative relationships by using algebraic terminology, expressions, equations, inequalities, and graphs [...]. Standard 2. Students interpret and evaluate expressions involving integer powers and simple roots [...]. Standard 3. Students graph and interpret linear and some nonlinear functions [...]. Standard 4. Students solve simple linear equations and inequalities over the rational numbers [...].
Samenvattend voor domein Getallen, niveaus 1S/2S: van de goede nederlandse leerling wordt op dit domein van leeftijd 12 to 16 een vooruitgang verwacht die overeenkomt met de vooruitgang van leeftijd 11 tot leeftijd 13 in Californië voor de norm leerling. Het kan zijn dat de auteurs van het Rekenrapport verwachten dat de nederlandse 2S leerling die normen voor het domein Getallen al vroeg in de vierjarige periode onder de knie zal hebben, maar in het rapport is dat niet te lezen.
Ik zal het bij de vergelijking voor de drie volgende volgende domeinen kort houden.
Domein Verhoudingen.
Dit te vergelijken met Californië laat ik geheel over aan de geinteresseerde lezer. Het domein is nauw verbonden met dat van de breuken en percentages binnen het domein Getallen en lezing van de nederlandse niveaubeschrijving levert geen nieuwe verassingen op.
Domein Meten en Meetkunde.
De nederlandse niveaubeschrijvingen kunnen gemakkelijk gelegd worden naast de californische voor het gebied Measurement and Geometry in Grades 3-7; het niveauverschil is ongeveer zoals bij de domeinen Getallen en Verhoudingen. Alleen in niveau 2F is het karakter wat anders, met in de nederlandse beschrijving een nadruk op technische tekeningen die in de californische standards voor Grades 3-7 niet aanwezig is. Ik kijk alleen in detail naar niveau 2S, voor de geavanceerde nederlandse 16-jarigen. We vinden daar: Voorvoegsels bij maten; gebruik van symbolen zoals (congruent), (driehoek), (parallel); namen van vlakke en ruimtelijke figuren. Lezen en interpreteren van tekeningen. Gegevens nodig voor het construeren van tekeningen; redeneren over gelijkvormige figuren. Verschillende soorten symmetrie herkennen en gebruiken. Orde van grootte en nauwkeurigheid van meetresultaten. Structuur en samenhang metrieke stelsel (uitgebreid); oppervlakte en inhoud van gelijkvormige figuren. Grootte van hoeken en afstanden berekenen in 2D en 3D figuren; stelling van Pythagoras; goniometrische verhoudingen sin, cos en tan. Kennis van figuren en hun eigenschapen gebruiken bij het oplossen van problemen. Regelmaat in meetkundige patronen herkennen en beschrijven.
California. Veel van dit niveau 2S is al te vinden in Grade 6 en eerder; de rest in wezen in Grade 7, met uitzondering van de goniometrische verhoudingen en de hoeken en afstanden in 3D. Ik laat het aan de lezer over.
Domein Verbanden.
Tabellen, grafieken, formules. De californische pendanten zijn te vinden onder de kopjes Algebra and Functions en Statistics, Data Analysis, and Probability. Bijvoorbeeld: Nederland, niveau 3F, 17-20-jarigen: In een formule een variabele vervangen door een getal en de waarde van de andere variabele berekenen. California, Grade 4, Algebra and Functions, Standard 1. Students use variables in simple expressions, compute the value of the expressions for specific values of the variable, and plot and interpret the results. Of deze. Nederland, niveau 2S, de geavanceerde 16-jarigen; wel, de lezer kan het zelf opzoeken. Zie ter vergelijking California Grade 7, Algebra and Functions (het eindpunt van het ongedifferentieerde norm-traject) en dan de beschrijving van het vak Algebra I waarvoor de wens is dat leerlingen het in Grade 8 kunnen volgen.
Slotopmerkingen.
Ik zal geen conclusies presenteren over dit rapport met leerlijnen Rekenen. Hierboven keek ik met name naar het inhoudelijke niveau van de leerlijnen en dat getuigt van een schrijnend gebrek aan ambitie voor de 12-jarigen en nog veel erger voor 16-jarigen. Op de afwezigheid van een domein Algebra voor 12-16 jarigen is stellig nog terug te komen. Dan is ook aandacht te besteden aan de stommiteit dat de electronische rekenmachine vooral in de lijn 1F/2F/3F nog een centrale rol heeft. Ook de voetnoot waaruit blijkt dat de tafels van vermenigvuldiging niet gekend hoeven te worden (binnen enkele seconden kunnen berekenen mag ook) verdient vernietigende kritiek. Meer algemeen, en afgezien van beschouwingen over het niveau, moet echt geeist worden dat een "doorlopende leerlijn" werkelijk van jaar tot jaar het gewenste niveau beschrijft; een ouder die zich afvraagt of zijn of haar 9-jarige wel adequaat onderwijs krijgt heeft niets aan een niveaubeschrijving voor 12-jarigen.
Bas Braams
Department of Chemistry and
Cherry L. Emerson Center for Scientific Computation
Emory University
(Dank aan: contacten via New York City HOLD -- www.nychold.com)
Verwijzingen.
[0] http://www.slo.nl/actueel/nieuws/dll/Hoofdrapport.pdf
[1] http://www.slo.nl/actueel/nieuws/dll/Rekenrapport.pdf
[2] http://www.cde.ca.gov/ci/ma/cf/
[3] http://www.edexcellence.net/foundation/publication/publication.cfm?id=338
[4] http://www.cde.ca.gov/ci/cr/cf/allfwks.asp
[5] http://www.coreknowledge.org/bookstore/index.php?main_page=index&cPath=7
[6] http://www.coreknowledge.org/bookstore/index.php?main_page=product_info&cPath=2&products_id=128